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By Thomas W Hungerford

ISBN-10: 0030105595

ISBN-13: 9780030105593

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Example text

Ist umgekehrt a ˘ x D b für jedes b eindeutig lösbar, so auch für b D e. Es gibt also ein eindeutiges Rechtsinverses a0 zu a. a ˘ a0 / ˘ a D e ˘ a D a; womit a0 ˘ a die nach Voraussetzung eindeutige Lösung der Gleichung a ˘ x D a ist. ). t u Da Inverse eine derart große Rolle spielen werden, listen wir hier noch einige elementare Rechenregeln für Inverse auf. 16. M; ˘; e/ ein Monoid. ) Das neutrale Element e ist invertierbar mit e 1 D e. a 1 / 1 D a. a ˘ b/ 1 D b 1 ˘ a 1 . Beweis. Der erste Teil ist klar, da e ˘ e D e.

M; ˘/ zu tun hat. M / . ). M; ˘/ nicht abelsch. Diese große Beispielklasse zeigt eine weitere fundamentale Bedeutung des Gruppenbegriffs auf: Wir können Gruppen als Symmetrien eines anderen mathematischen Objekts wie etwa einer Menge mit Verknüpfung auffassen. Dieser Gesichtspunkt der Gruppentheorie wird uns insbesondere in der Geometrie noch oft begegnen, wo die anschauliche Vorstellung von Symmetrie besonders klar ist. ) Die kleinste Gruppe G ist die triviale Gruppe G D feg mit der eindeutig bestimmten Verknüpfung e ˘ e D e.

In diesem Fall ist x D a 1 ˘ b die eindeutige Lösung. ) Die Gleichung x ˘a D b besitzt genau dann für jedes b eine eindeutige Lösung, wenn a invertierbar ist. In diesem Fall ist x D b ˘ a 1 die eindeutige Lösung. Beweis. ). ) beweist man dann analog. Sei also zunächst a rechtsinvertierbar mit a ˘ a0 D e. a ˘ a0 / ˘ b D e ˘ b D b; 38 3 Von Gruppen, Ringen und Körpern womit x eine Lösung ist. Ist umgekehrt a ˘ x D b für jedes b lösbar, so auch insbesondere für b D e. Die zugehörige Lösung ist ein Rechtsinverses, womit der erste Teil gezeigt ist.

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Abstract Algebra: An Introduction by Thomas W Hungerford

by Jason

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