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By S. Iyanaga (Editor)

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Es folgt v=− λm λ1 v1 − · · · − vm λ λ und damit ist v eine Linearkombination von Elementen aus B. 6 Existenzsatz Lemma. Sei V ein K-Vektorraum und sei M ⊂ S ⊂ V , wobei M linear unabh¨angig und S ein Erzeugendensystem sei. Dann gibt es eine Basis B von V mit M ⊂ B ⊂ S. Beweis. Wir suchen unter allen Teilmengen X von V mit M ⊂ X ⊂ S eine maximal linear unabh¨ angige. 5 eine Basis. Wenn S endlich ist, gibt es also sicher eine Basis B von V mit M ⊂ B ⊂ V . Hat S unendlich viele Elemente, so ist nicht klar, ob es unter den obigen Mengen X eine maximale gibt.

Vm sind linear abh¨angig 2. Es gibt (mindestens) ein j mit 1 j m so, dass vj Linearkombination der u ¨brigen Vektoren v1 , . . , vj−1 , vj+1 , . . , vm ist. Beweis. 1 =⇒ 2 Seien v1 , . . , vm linear abh¨angig. Dann gibt es λ1 , . . , λm ∈ K so, dass λ1 v1 + · · · + λm vm = 0 gilt und ur mindestens ein j. 1 der linearen Unabh¨angigkeit nicht von der Reihenfolge der Vektoren abh¨angt, sei ohne Einschr¨ankung j = 1. 3 Definition einer Basis und Beispiele Definition. 4 Eindeutigkeit der Basisdarstellung 37 Beispiel.

0 0 · · · an heißt Diagonalmatrix . Die Multiplikation zweier Diagonalmatrizen ist besonders einfach ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ b1 0 · · · 0 a1 b1 a1 0 · · · 0 0 ··· 0 ⎜ ⎜ ⎜ 0 a2 0⎟ 0⎟ 0 ⎟ a2 b 2 ⎟ ⎜ 0 b2 ⎟ ⎜ 0 ⎟ ⎜ =⎜ . ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ .. . .. ⎟ . . . ⎠ ⎝ .. . ⎠ ⎝ .. ⎝. 3 Transponierte Matrix Ist A = (aij ) ∈ Mm×n (K), so heißt A := (aji ) ∈ Mn×m (K) t die zu A transponierte Matrix . Es gelten die Regeln: 1. t(A + B) = tA + tB f¨ ur A, B ∈ Mm×n (K) ur λ ∈ K 2. t(λA) = λ(tA) f¨ ur A ∈ Mm×n (K) 3. t(tA) = A f¨ ur A ∈ Mm×n (K), B ∈ Mn× (K) (vgl.

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by John
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