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By Dr. phil. Dietmar W. Dorninger, Dr. phil. Winfried B. Müller

ISBN-10: 3519020300

ISBN-13: 9783519020301

ISBN-10: 3663098133

ISBN-13: 9783663098133

Ausgehend von dem Werk des Arabers Mohammed ibn Musa al-Khowarizmi "Hisab aljabr w'almuqabalah" (HinUberschaffen eines Gliedes einer Gleichung von einer Seite auf die andere) im eight. Jhdt. nach ehr., welches fUr die Algebra namensgebend conflict, verstand guy bis zum Beginn des 19. Jhdts. unter Algebra im wesentlichen die Lehre von der Losung alge braischer Gleichungen . Eines der Hauptprobleme der Gleichungslehre battle, die Frage zu beantworten, wann eine allgemeine Polynomgleichung n-ten Grades mit Hilfe der Grundrechnungsarten, des Potenzierens und Wurzel ziehens auflosbar ist. Diese Frage wurde von E. Galois in einer im Jahre 1831 bei der Franzosischen Akademie der Wissenschaften einge reichten Arbeit endgUltig entschieden. Galois verwendete bei seinem Be weis erstmals Hilfsmittel, die als charakteristisch fUr die moderne Al gebra angesehen werden konnen, namlich Eigenschaften von Gruppen und Korpern . - Angeregt durch Fragen der Logik folgten bald Untersuchungen anderer algebraischer Strukturen, namlich von Booleschen Algebren, und mit der Zeit wandelte sich die Bedeutung des Wortes Algebra hin zur Lehre von algebraischen Strukturen, so wie wir sie heute vornehml ich verstehen. Mit den vielen neu gewonnenen Ergebnissen Uber algebraische Strukturen gewann die Frage an Bedeutung, used to be diesen Ergebnissen gemeinsam ist, und so entstand vor etwa 30 Jahren eine neue Teildisziplin der Algebra, die sogenannte Universelle (oder Universale) Algebra. Zugleich mit dem pattern zur abstrakten Algebra hin geriet allerdings teilweise etwas in Ver gessenheit, dass viele Probleme der Algebra aus konkret en Fragen der An wendungen entstanden und fUr die Anwendungen bedeutsam sind

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Der Homomorphismus h im vorletzten Beispiel ist sogar ein 45 Isomorph ismus. die Abbildung h im letzten Beispiel aber nicht. denn h ist dort nicht i nj e kti v . 1: I s t e ei n e Kon gr ue n zr e l a t i on i n ein e r A l g e b r a , s o i st di e Fakto ralg e b ra h omomorphes Bild v o n M. Beweis: Wir definieren eine Abbildung he :M ~ M/ e durch he( x) = x für alle x e M. Ist dann 0 eine n-stellige Operation aus 0 mit n > 0 . x 2 ... ·. xn EM : he( 0( x 1. x 2 . ·. xn)) = 0( xl' x 2 .....

So gilt. w 2 •.. X 2 •. X n ) Ist *v 6(*v(ß)) = eine nullstellige Operation. so erhalten wir: = U(*v(ß)) = U(h(ov(ß))) = ~ = 0v(ß). ) Also ist 6 ein Isomorphismus von W auf M/0 K. Beac~ten wir. daß mit jedem Isomorphismus ~ einer Algebra A auf eine Algebra B die Umkehrabbildung von ~ ein Isomorphismus von B auf A ist (d ies folgt unmittelbar aus der Definit ion des Isomorphismus). so ergibt sich. daß M/0 K isomorph zu W ist. w. 1 gibt den soeben besprochenen Sachverhalt in einem Diagramm wieder.

H( {ß. y }) = {ß}, h( {y}) '= 0 und h(A) = A für alle A,;;;{ a. ß}, dann ka nn man leicht (jedoch mit ein wenig Rechenmühe) nachprüfen. daß h ein Homomorphismus der Booleschen Algebra P({ a. ß, y}) in die Boolesche Algebra P({ a. ß}) ist. Ist h ein surjektiver Homomorphismus der Algebra M in die Algebra W. • gibt es zu jedem y E Wein x e M mit h(x) = y. so spricht man von einem Homomorphismus von M auf W, und W heißt homomorphe s Bild von M. Gilt für einen Homomorphismus h:M~W für xl'x 2 EM mit Xl ;.

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by Jeff
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